梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =9S2

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梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃，且S₁ +S₃ =9S₂，则CD=（）

A.2.5AB B.3AB
C.3.5AB D.4AB

答案

解析

解：如图，作AO∥BC交DC于O点，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，
∴AB=OC，AO=BC，∠DAO=90°，
∵以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，
∴S₁=

AM×MD=

AM²，
根据勾股定理得：AM²+MD²=AD²，
∵AM=MD，
∴2AM²=AD²，
∴S₁=

，
同理：∵S₂=AN²•

，2AN²=AB²，∴S₂=

，
同理：∵S₃=BP²•

，2BP²=BC²，∴S₃=

，
∵S₁+S₃=9S₂
∴

∴（DC-AB）²=9AB²
∴（CD-4AB）（CD+2AB）=0，
∴CD=4AB，CD=-2AB（不合题意，舍去）
故选D．

举一反三

如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF 是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）并说明理由？

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（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形， AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．

①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；
②当

时，上述结论成立；
当

时，上述结论不成立．

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则在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG、BG，∠BDG的大小是（）

A、30°
B、45°
C、60°
D、75°

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如图已知

ABCD中，AC＝AD，∠B＝72°，则∠CAD＝_________°

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阅读材料：
如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O．
求证：S_四边形_ABCD=

AC•BD；
证明：∵AC⊥BD，
∴S_四边形_ABCD=S_△_ACD+S_△_ACB=

AC•OD+

AC•BO=

AC（OD+OB）=

AC•BD

解答下列问题：
（1）上述证明得到的结论可叙述为                                             ；
（2）如图2 ，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC= BD=8，则S_四边形_ABCD=         ；
（3）如图3 ，在菱形ABCD中，AB = 5， AC= 8，则S_菱形_ABCD=        ；

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