如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.(1)求证:CE=CF;(2)若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.
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如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.(1)求证:CE=CF;(2)若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.
题型:不详
难度:
来源:
如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.
(1)求证:CE=CF;
(2)若等边三角形AEF的边长为2,求正方形ABCD的周长.
答案
(1)证明见解析(2)2(
)
解析
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD。
∵△AEF是等边三角形,∴AE=AF。
在Rt△ABE和Rt△ADF中,∵AB=AD,AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)。
∴CE=CF。
(2)解:连接AC,交EF于G点,
∵△AEF是等边三角形,△ECF是等腰直角三角形,∴AC⊥EF。
在Rt△AGE中,EG=sin30°AE=
×2=1,∴EC=
。
设BE=x,则AB=BC=x+
,
在Rt△ABE中,AB
2
+BE
2
=AE
2
,即(x+
)
2
+x
2
=4,解得x=
(负值舍去)。
∴AB=
。
∴正方形ABCD的周长为4AB=2(
)。
(1)根据正方形可知AB=AD,由等边三角形可知AE=AF,于是可以证明出△ABE≌△ADF,即可得出CE=CF。
(2)连接AC,交EF与G点,由△AEF是等边三角形,△ECF是等腰直角三角形,于是可知AC⊥EF,求出EG=1,设BE=x,利用勾股定理求出x,即可求出AB的值,从而求出正方形的周长。
举一反三
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▲
.
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矩形
中,
,
,边
绕
旋转使得点
落在射线
上
处,那么
的度数为
.
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