用长度为32m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为一个矩形，上部为一个等边三角形．当下部的矩形面积最大时，求矩形的AB、BC的边长各为多少m？并求此时整个金属

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用长度为32m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为一个矩形，上部为一个等边三角形．当下部的矩形面积最大时，求矩形的AB、BC的边长各为多少m？并求此时整个金属框的面积是多少？

答案

（1）设AB=x，矩形ABCD的面积为y，则：BC=16-2x
得：y=x×（16-2x）y=-2x²+16x
当x=-

=4时，矩形ABCD的面积有最大值
∴AB=4m，BC=8m
（2）作EH⊥CD，垂足为H

∵△CDE是等边三角形
∴CH=DH=2
∴EH=

CH=2

∴S_△CDE=

×4×2

又∵x=-

=4时，y最大值=32
整个金属框的面积=4

+32

举一反三

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将一个足够大的直角三角板ROQ的直角顶点O放在对角线AC上（除A、C两点外），将三角板绕点O旋转，两直角边OQ、OR与矩形两邻边分别交于E、F两点．

（1）如图1，若两直角边与边AB、BC相交，当三角板的直角顶点O与AC的中点重合时，请直接写出OE与OF的数量关系；
（2）如图2，若两直角边与边AB、BC相交，当AO=m时，请写出OE与OF的数量关系，并证明你的结论；
（3）请你在图3中画出当直角三角板ROQ的直角顶点O在对角线AC上滑动时，但OE与OF的数量关系不随之改变的某一时刻的图形．

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矩形ABCD的周长是56cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长短4cm．求：
（1）AB；
（2）BC的长？

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如图，P是矩形ABCD内一点，若PA=3，PB=4，PC=5，则PD=______．

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如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S₁与矩形QCNK的面积S₂的大小关系是S₁______S₂；（填“＞”或“＜”或“=”）

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在▱ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°．
求证：四边形ABCD是矩形．

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