如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．（1）证明：△OAB∽△EDA；（2）当a

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如图，已知OA⊥OB，OA=4，OB=3，以AB为边作矩形ABCD，使AD=a，过点D作DE垂直OA的延

长线交于点E．
（1）证明：△OAB∽△EDA；
（2）当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．

答案

（1）证明：如图所示，
∵OA⊥OB，
∴∠1+∠2=90°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，（1分）
∵OA⊥OB，OE⊥OA，
∴∠BOA=∠DEA=90°，（2分）
∴△OAB∽△EDA．（3分）

（2）在Rt△OAB中，AB=

32+42

=5，（4分）
由（1）可知∠1=∠3，∠BOA=∠DEA=90°，
∴当a=AD=AB=5时，△AOB与△EDA全等．（5分）
当a=AD=AB=5时，可知矩形ABCD为正方形，
∴BC=AB，如图，过点C作CH⊥OE交OE于点H，
则CH就是点C到OE的距离，过点B作BF⊥CH交CH于点F，


则∠4与∠5互余，∠1与∠5互余，
∴∠1=∠4，（6分）
又∵∠BFC=∠BOA，BC=AB，
∴△OAB≌△FCB（AAS），（7分）
∴CF=OA=4，BO=BF．
∴四边形OHFB为正方形，
∴HF=OB=3，
∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7．（8分）