如图,任意四边形ABCD,对角线AC、BD交于O点,过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线,四条平行线围成一个四边形EFGH.试想当四边形ABCD的形状发生改变
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如图,任意四边形ABCD,对角线AC、BD交于O点,过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线,四条平行线围成一个四边形EFGH.试想当四边形ABCD的形状发生改变时,
四边形EFGH的形状会有哪些变化?完成以下题目: (1)当ABCD为任意四边形时,EFGH为______; 当ABCD为矩形时,EFGH为______; 当ABCD为菱形时,EFGH为______; 当ABCD为正方形时,EFGH为______; 当EFGH是矩形时,ABCD为______; 当EFGH是菱形时,ABCD为______; 当EFGH是正方形时,ABCD为______. (2)请选择(1)中任意一个你所写的结论进行证明. (3)反之,当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时,相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件? |
答案
(1)平行四边形;菱形;矩形;正方形;对角线垂直的四边形;对角线相等的四边形;对角线相等且垂直的四边形.
(2)结合图形,联想特殊四边形的特征及识别很容易发现,其中的桥梁为AC、BD. 证明:①当ABCD为任意四边形时,EFGH为平行四边形. ∵EH∥AC∥FG,EF∥BD∥GH, ∴四边形EFGH为平行四边形. 证②:若ABCD为矩形,则EFGH为菱形. ∵EH∥AC∥FG,EF∥BD∥GH. ∴四边形EACH,ACGF,EFBD,BDHG,EFGH均为平行四边形. ∴EH=AC=FG,EF=BD=GH. ∵四边形ABCD为矩形. ∴AC=BD. ∴EH=AC=FG=EF=BD=GH. ∴四边形EFGH为菱形. ③若ABCD为菱形,则EFGH为矩形.
(3)当平行四边形EFGH是矩形时,四边形ABCD必须满足:对角线互相垂直. 当平行四边形EFGH是菱形时,四边形ABCD必须满足:对角线相等. |
举一反三
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=1,则矩形的面积等于______. |
已知:如图,在矩形ABCD中,点E在AD边上,AE>DE,BE=BC,点O是线段CE的中点. (1)试说明CE平分∠BED; (2)在直线AD上是否存在点F,使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形?如果存在,试画出点F的位置,并作适当说明;如果不存在,请说明理由. |
如图,已知点D是△ABC的边BC(不含点B,C)上的一点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F、要使四边形AFDE是矩形,则在△ABC中要增加的一个条件是:______. |
下列说法正确的有( ) (1)一组对边相等的四边形是矩形; (2)两条对角线相等的四边形是矩形; (3)四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形; (4)四条边都相等的四边形是菱形. |
矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分,则这个矩形的面积为( )A.3cm2 | B.4cm2 | C.12cm2 | D.4cm2或12cm2 |
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