(1)D(,);(1分)
(2)由Rt△OAB的面积为,得B(t,), ∵BD2=AC2+(AB-CD)2, ∴BD2=(-t)2+(-)2=t2+-2(t+)+4① =(t+)2-2(t+)+2=(t+-)2, ∴BD=|t+-|=t+-②;
(3)解法一:若OB=BD,则OB2=BD2. 在Rt△OAB中,OB2=OA2+AB2=t2+. 由①得t2+=t2+-2(t+)+4. 解得:t+=,∴t2-t+1=0, ∵△=()2-4=-2<0,∴此方程无解. ∴OB≠BD.
解法二:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上. ∵C(,0),在等腰Rt△OCM中,可求得M(,), ∴直线CM的函数关系式为y=-x+,③ 由Rt△OAB的面积为,得B点坐标满足函数关系式y=.④ 联立③,④得:x2-x+1=0, ∵△=()2-4=-2<0,∴此方程无解, ∴OB≠BD.
解法三:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上,如图1 过点B作BG⊥y轴于G,CM交y轴于H, ∵S△OBG=S△OAB=, 而S△OMH=S△MOC=S△DOC=×××=,(5分) 显然与S△HMO与S△OBG矛盾. ∴OB≠BD.
(4)如果△BDE为直角三角形,因为∠BED=45°, ①当∠EBD=90°时,此时F,E,M三点重合,如图2 ∵BF⊥x轴,DC⊥x轴,∴BF∥DC. ∴此时四边形BDCF为直角梯形.
②当∠EDB=90°时,如图3 ∵CF⊥OD, ∴BD∥CF. 又AB⊥x轴,DC⊥x轴, ∴BF∥DC. ∴此时四边形BDCF为平行四边形. 下证平行四边形BDCF为菱形:
解法一:在△BDO中,OB2=OD2+BD2, ∴t2+=4+t2+-2(t+)+4, ∴t+=2, [方法①]t2-2t+1=0,∵BD在OD上方 解得:t=-1,=+1或t=+1,=-1(舍去). 得B(-1,+1), [方法②]由②得:BD=t+-=2-=, 此时BD=CD=, ∴此时四边形BDCF为菱形(9分)
解法二:在等腰Rt△OAE与等腰Rt△EDB中 ∵OA=AE=t,OE=t,则ED=BD=2-t, ∴AB=AE+BE=t+(2-t)=2-t, ∴2-t=,即t+=2以下同解法一, 此时BD=CD=, ∴此时四边形BDCF为菱形.(9分) |