如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.(1)求证:△BED≌△CFD;(2)当∠A=90°时,

如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.(1)求证:△BED≌△CFD;(2)当∠A=90°时,

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如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:△BED≌△CFD;
(2)当∠A=90°时,试判断四边形DFAE是何特殊四边形?并说明理由.
答案
(1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°(1分)
∵D是BC的中点,
∴BD=CD(2分)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠EDB=∠FDC,
∴△BED≌△CFD(3分)

(2)∵∠BED=∠CFD=∠A=90°
∴四边形DFAE为矩形.(4分)
∵△BED≌△CFD,
∴DE=DF,(5分)
∴四边形DFAE为正方形.(6分)
举一反三
如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点D,CE平分∠ACD,分别交AD、BD于E、G,EFAC交CD于F,连接OE下列结论:①EF=AE,②∠AOE=∠AEO,③OG=
1
2
AE
,④S△ACE=2S△DCE⑤AB=(


2
+1)DG
.其中正确的是(  )
A.①③⑤B.①②④C.①③④D.②③⑤

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△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由.
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=______;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=______;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.
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在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P是在线段BC上任意一点(与点B不重合),∠BPE=
1
2
∠BCA,PE交BO于点E,过点B作BF⊥PE,垂足为F,交AC于点G.
(1)若ABCD为正方形,
①如图(1),当点P与点C重合时.△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到?证明你的结论;
②结合图(2)求
BF
PE
的值;
(2)如图(3),若ABCD为菱形,记∠BCA=α,请探究并直接写出
BF
PE
的值.(用含α的式子表示)
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如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分∠BAC,交BD于点F.
(1)求证:EF+
1
2
AC=AB;
(2)点C1从点C出发,沿着线段CB向点B运动(不与点B重合),同时点A1从点A出发,沿着BA的延长线运动,点C1与A1的运动速度相同,当动点C1停止运动时,另一动点A1也随之停止运动.如图2,A1F1平分∠BA1C1,交BD于点F1,过点F1作F1E1⊥A1C1,垂足为E1,请猜想E1F1
1
2
A1C1与AB三者之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)在(2)的条件下,当A1E1=3,C1E1=2时,求BD的长.
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(1)填空:如图1,在正方形PQRS中,已知点M、N分别在边QR、RS上,且QM=RN,连接PN、SM相交于点O,则∠POM=______度;
(2)如图2,在等腰梯形ABCD中,已知ABCD,BC=CD,∠ABC=60度.以此为部分条件,构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明.
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