(1)AP=EF,AP⊥EF,理由如下: 连接AC,则AC必过点O,延长FO交AB于M; ∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四边形ABCD是正方形, ∴四边形OECF是正方形, ∴OM=OF=OE=AM, ∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°, ∴△AMO≌△FOE(AAS), ∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF, 故AP=EF,且AP⊥EF.
(2)题(1)的结论仍然成立,理由如下: 延长AP交BC于N,延长FP交AB于M; ∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°, ∴四边形MBEP是正方形, ∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°; 又∵AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE, ∴AM=PF, ∴△AMP≌△FPE(SAS), ∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF ∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF, ∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF, 故AP=EF,且AP⊥EF.
(3)题(1)(2)的结论仍然成立; 如右图,延长AB交PF于H,证法与(2)完全相同.
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