正方形ABCD的对角线交点为O,两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形.(1)平行四边形ABCD的两条对角线交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA
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正方形ABCD的对角线交点为O,两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形. (1)平行四边形ABCD的两条对角线交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系,并加以证明; (2)四边形ABCD的两条对角线互相垂直,交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系,并加以证明; (3)四边形ABCD的两条对角线交点为O,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试判断S1,S2,S3,S4的关系,并加以证明; (4)四边形ABCD的两条对角线相等,交点为O,∠BAC=∠BDC,若△AOB,△BOC,△COD,△DOA面积分别为S1,S2,S3,S4,试只用S1,S3或只用S2,S4表示四边形ABCD的面积S. |
答案
(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC, ∵△AOB,△BOC的边OA,OC上的高相同, ∴S1=S2, 同理S2=S3,S3=S4,S4=S1, ∴S1=S2=S3=S4.
(2)∵AC⊥BD,垂足为O, ∴S1=OA?OB,S2=OB?OC,S3=OC?OD,S4=OD?OA, ∴S1S3=S2S4;
(3)设点B到线段AC所在直线的距离为h1,点D到线段AC所在直线的距离为h2, ∴S1=OA?h1,S2=OC?h1,S3=OC?h2,S4=OA?h2, ∴S1S3=S2S4;
(4)∵BAC=∠BDC,∠AOB=∠DOC, ∴∠DCA=∠ABD, 当AB与CD不平行时,必相交于一点, 设线段BA与CD的延长线交于点E, ∵AC=BD,∠AEC=∠DEB, ∴△AEC≌△DEB, ∴AE=DE,CE=BE, ∴AB=DC, ∴△AOB≌△DOC, ∴S1=S3, ∵S1S3=S2S4, ∴S12=S2S4, ∴S=S1+S2+S3+S4=2S1+S2+S4=S2+S4+2(或=(+)2); 当AB与CD平行时,则△ABD与△BAC同底等高,有S1+S2=S1+S4, ∴S2=S4, ∵S1S3=S2S4, ∴S22=S1S3,S=S1+S3+2S2=S1+S3+2(或=(+)2). |
举一反三
如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG的顶点D在边AC上,点E、F在边AB上,
点G在边BC上. (1)求证:AE=BF; (2)若BC=cm,求正方形DEFG的边长. |
如图,AC是正方形ABCD的对角线,AE平分∠BAC,EF⊥AC交AC于点F. (1)图中与线段BE相等的所有线段是______; (2)选择图中与BE相等的任意一条线段,并加以证明. |
如图:正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BE=CF, 求证:①∠OEC=∠OFD.②CE=DF. |
已知:如图,E为正方形ABCD的边BC延长线上的点,F是CD边上一点,且CE=CF,连接DE,BF.求证:DE=BF. |
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