如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q. (1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ; (2)

如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q. (1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ; (2)

题型:同步题难度:来源:
如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q.
(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ;
(2)当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形.
答案
(1)证明:在正方形ABCD中, 无论点P运动到AB上何处时,都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,∴△ADQ≌△ABQ;
(2)解法一:△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时,
过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F,则QE=QF,
AD×QE=S正方形ABCD=×16=
∴QE=
由△DEQ∽△DAP得,即=,解得AP=2,
∴AP=2时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
解法二:以A为原点建立如图所示的直角坐标系,过点Q作QE⊥y轴于点E,QF⊥x轴于点F.AD×QE=S正方形ABCD=×16=
∴QE=
∵点Q在正方形对角线AC上,∴Q点的坐标为(),
∴过点D(0,4),Q()两点的函数关系式为:y=﹣2x+4,
当y=0时,x=2,∴P点的坐标为(2,0),
∴AP=2时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
(3)解:若△ADQ是等腰三角形,则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,
①当AD=DQ时,则∠DQA=∠DAQ=45°∴∠ADQ=90°,P为C点,
②当AQ=DQ时,则∠DAQ=∠ADQ=45°,∴∠AQD=90°,P为B,
③AD=AQ(P在BC上),∴CQ=AC﹣AQ=BC﹣BC=(﹣1)BC
∵AD∥BC
==1,
∴CP=CQ=(﹣1)BC=4(﹣1)
综上,P在B点,C点,或在CP=4(﹣1)处,△ADQ是等腰三角形.

举一反三
如图(1),在正方形ABCD中,M为AB的中点,E为AB延长线上一点,MN⊥DM,且交
∠CBE的平分线于点N.
(1)DM与MN相等吗?试说明理由.
(2)若将上述条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”,其余条件不变,如图(2),则DM与MN相等吗?为什么?
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如图,将边长为2的正方形ABCD各边4等分,把一根长度为的绳子的一端固定在点A处,并沿逆时针方向缠绕正方形ABCD,则绳子的另一端(即点E)将落在下列哪条线段上 
[     ]
A.CR1
B.R1 R2
C.R2 R3
D.R3D
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如图,四边形ABCD是正方形,延长 BC到E,在CD上截取 CF = CE,连接DE、BF,延长 BF交DE于G。
(1)求证:BG⊥DE;
(2)连接EF,若正方形ABCD 的边长为 2,且 CE = x,△DFE 的面积为 y,求y关干x 的函数解析式。
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案

已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运到,连结DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连结OP,ON。(当P在线段BC上时,如图9:当P在BC的延长线上时,如图10)
(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:
 ①BN=CP: ②OP=ON,且OP⊥ON         
(2)  设AB=4,BP=,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积的函数关系。



题型:湖南省中考真题难度:| 查看答案
如图①所示, 已知为直线上两点,点为直线上方一动点,连接,分别以为边向外作正方形和正方形,过点于点,过点于点.
(1)如图②,当点恰好在直线上时(此时重合),试说明
(2)在图①中,当两点都在直线的上方时,试探求三条线段之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图③,当点在直线的下方时,请直接写出三条线段之间的数量关系.(不需要证明)
题型:江苏中考真题难度:| 查看答案
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