试题分析:(1)根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°,求出∠CFD=∠AED,证出△AED∽△DFC即可; (2)当∠B+∠EGC=180°时,成立,证△DFG∽△DEA,得出,证△CGD∽△CDF,得出,即可得出答案; (3)过C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,△BAD≌△BCD,推出∠BCD=∠A=90°,证△BCM∽△DCN,求出CM=x,在Rt△CMB中,由勾股定理得出,代入得出方程,求出CN=,证出△AED∽△NFC,即可得出答案. 试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠FDC=90°, ∵CF⊥DE, ∴∠DGF=90°, ∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°, ∴∠CFD=∠AED, ∵∠A=∠CDF, ∴△AED∽△DFC, ∴,即=. (2)当∠B+∠EGC=180°时,=成立. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠B=∠ADC,AD∥BC, ∴∠B+∠A=180°, ∵∠B+∠EGC=180°, ∴∠A=∠EGC=∠FGD, ∵∠FDG=∠EDA, ∴△DFG∽△DEA, ∴, ∵∠B=∠ADC,∠B+∠EGC=180°,∠EGC+∠DGC=180°, ∴∠CGD=∠CDF, ∵∠GCD=∠DCF, ∴△CGD∽△CDF, ∴, ∴, ∴, 即当∠B+∠EGC=180°时,成立. (3)解:. 理由是:过C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x, ∵AB⊥AD, ∴∠A=∠M=∠CNA=90°, ∴四边形AMCN是矩形, ∴AM=CN,AN=CM, ∵在△BAD和△BCD中
∴△BAD≌△BCD(SSS), ∴∠BCD=∠A=90°, ∴∠ABC+∠ADC=180°, ∵∠ABC+∠CBM=180°, ∴∠CBM=∠ADC, ∵∠CND=∠M=90°, ∴△BCM∽△DCN, ∴, ∴ ∴ 在Rt△CMB中,,BM=AM﹣AB=x﹣6,由勾股定理得:, ∴, 解得 x=0(舍去),x= ∴CN=, ∵∠A=∠FGD=90°, ∴∠AED+∠AFG=180°, ∵∠AFG+∠NFC=180°, ∴∠AED=∠CFN, ∵∠A=∠CNF=90°, ∴△AED∽△NFC, ∴
考点: 相似三角形综合题. |