小明和几位同学做手的影子游戏时,发现对于同一物体,影子的大小与光源到物体的距离有关.因此,他们认为:可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是,他们做了以

小明和几位同学做手的影子游戏时,发现对于同一物体,影子的大小与光源到物体的距离有关.因此,他们认为:可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是,他们做了以

题型:不详难度:来源:
小明和几位同学做手的影子游戏时,发现对于同一物体,影子的大小与光源到物体的距离有关.因此,他们认为:可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是,他们做了以下尝试.
(1)如图①,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,边长AB为30cm,在其正上方有一灯泡,在灯泡的照射下,正方形框架的横向影子A′B,D′C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为           .
(2)不改变①中灯泡的高度,将两个边长为30cm的正方形框架按图②摆放,请计算此时横向影子ABDC的长度和为多少?
(3)有n个边长为a的正方形按图③摆放,测得横向影子ABDC的长度和为b,求灯泡离地面的距离.(写出解题过程,结果用含a,b,n的代数式表示)
答案
(1)180cm (2)12 cm   (3)
解析

试题分析:(1)由题意得A′B=D′C,BM=CM=15;正方形框架ABCD,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=CD;所以(SAS),;正方形框架的横向影子A′B,D′C的长度和为6cm,,在直角三角形;而在直角三角形,所以,解得h=180cm
(2)不改变①中灯泡的高度,将两个边长为30cm的正方形框架按图②摆放,h=180cm;BM=CM=30cm,AB=CD=30cm;由(1)的证明可得(SAS),,在直角三角形;而在直角三角形,所以,解得x=6,所以横向影子ABDC的长度和=2x=12cm
(3)记灯泡为点P
ADA′D′,∴∠PAD=∠PA′D′,∠PDA=∠P D′A′
∴△PAD∽△PA′D′
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质,可得
设灯泡离地面距离为由题意,得 PM=PN=AD= A′D′=



所以x=
点评:本题考查全等三角形,三角函数,正方形,掌握三角形全等的判定方法,熟悉三角函数的定义,掌握正方形的性质是解本题的关键,本题虽是最后一题,但难度不算大
举一反三
如本题图1,在中,分别为三边的中点,点在边上,与四边形的周长相等,设.

(1)求线段的长(用含的代数式表示);
(2)求证:平分;
(3)连接,如本题图2,若相似,求证:.
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如图,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中点,点E是线段AB上一动点,连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.

(1)如图1,求证:AE=DF;
(2)如图2,若AB=2,过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G,求证:△GEF是等腰直角三角形
(3)如图3,若AB=,过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G.
①直接写出线段AE长度的取值范围;
②判断△GEF的形状,并说明理由.
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计算:已知,则         ;
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在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法。如类比、转化、从特殊到一般等思想方法,如下是一个案例,请补充完整。
题目:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F在线段AE上,BF的延长线交射线CD于点G,若,求的值。

(1)尝试探究
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则易求的值是       的值是
         ,从而确定的值是          
(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,若,则的值是         。(用含m的代数式表示),写出解答过程。
(3)拓展迁移
如图3,在梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上的一点,AE和BD相交于F,若a>0,b>0),则的值是         。(用含ab的代数式表示)写出解答过程。
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如图,在中,,.P是AB上的动点(P异于A、B),过点P的直线截,使截得的三角形与相似,当            时,截得的三角形面积为面积的.
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