如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”

如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”

题型:不详难度:来源:
如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.

(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.
答案
(1)对,理由见解析 (2)见解析
解析

试题分析:(1)设△ABC的边AB上的高为h,由三角形的面积公式即可得出==,再由点D为边AB的黄金分割点可得出=,故可得出结论;
(2)由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,故SDEC=SFCE,设直线EF与CD交于点G,由同底等高的三角形的面积相等可知SDEG=SFEG,故可得出SADC=S四边形AFGD+SFCG=SAEF,再由SBDC=S四边形BEFC,再由=可知=,故直线EF也是△ABC的黄金分割线.
解:(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:
设△ABC的边AB上的高为h.
∵SADC=AD•h,SEDC=BD•h,SABC=AB•h,
==
又∵点D为边AB的黄金分割点,
=
=
∴直线CD是△ABC的黄金分割线;
(2)∵DF∥CE,
∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等,
∴SDEC=SFCE
设直线EF与CD交于点G,
∴SDEG=SFCG
∴SADC=S四边形AFGD+SFCG=S四边形AFGD+SDGE=SAEF
SBDC=S四边形BEFC,.
又∵=
=
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线.

点评:本题考查的是相似形综合题,涉及到平行线的性质及三角形的面积公式,根据题意理解黄金分割点及分割线的定义是解答此题的关键.
举一反三
如图,在△ABC中,D为BC边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD与点O,某学生在研究这一问题时,发现了如下事实,
①当
②当

如图4中,当时,请你猜想的一般结论,并证明你的结论(其中n为正整数).
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如图,AB∥EF∥CD,已知AC+BD=120,BC=50,EC+ED=96,求CF.
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如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥BC交AB于点E,DE=4,BC=6,AD=5.求DC与AE的长.
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已知:▱ABCD中,E是BA边延长线上一点,CE交对角线DB于点G,交AD边于点F.
求证:CG2=GF•GE.
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如图,在平行四边形ABCD中,点E为边BC上一点,连接AE并延长AE交DC的延长线于点M,交BD于点G,过点G作GF∥BC交DC于点F.
求证:
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