如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B,P为下底BC边上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE
题型:不详难度:来源:
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B,P为下底BC边上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B.
(1)求证:△ABP∽△PCE; (2)求腰AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3.如果存在,求出BP的长;如果不存在,请说明理由。 |
答案
(1)欲证△ABP∽△PCE,需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C,根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP;由此得证;(2)AB=4cm;(3)BP=1cm或6cm |
解析
试题分析:(1)欲证△ABP∽△PCE,需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C,根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP;由此得证; (2)可过作AF⊥BC于F,由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半,在Rt△ABF中,根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值; (3)在(2)中求得了AB的长,即可求出DE:EC=5:3时,DE、CE的值.设BP的长为x,进而可表示出PC的长,然后根据(1)的相似三角形,可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式,由此可得出关于x的分式方程,若方程有解,则x的值即为BP的长.若方程无解,则说明不存在符合条件的P点. (1)由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP; ∵∠B=∠APE ∴∠EPC=∠BAP ∵∠B=∠C ∴△ABP∽△PCE; (2)过A作AF⊥BC于F
∵等腰梯形ABCD中,AD=3cm,BC=7cm, ∴BF=2cm, Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2; ∴AB=4cm; (3)存在这样的点P. ∵DE:EC=5:3,DE+EC=DC=4 解之得EC=cm. 设BP=x,则PC=7-x 由△ABP∽△PCE可得
∵AB=4,PC=7-x,
解之得x1=1,x2=6, 经检验都符合题意, 即BP=1cm或BP=6cm. 点评:解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例,注意对应字母在对应位置上. |
举一反三
下列判断正确的是A.所有等腰三角形都相似 | B.所有直角三角形都相似 | C.所有菱形都相似 | D.所有等边三角形都相似 |
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已知两个相似三角形的周长之和为24cm,一组对应边分别为2.5cm和3.5cm,则较大三角形的周长为A.10 cm | B.12 cm | C.14 cm | D.16 cm |
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如图,已知⊙O中,弦AC、BD相交于点P,AB=5,AP=3,DP=2,则CD= 。 |
如图,已知△ABC中,DE∥BC,AE∶AC=1∶3,EM、CN分别是∠AED、∠ACB的角平分线,EM=5,则CN= 。 |
(本题10分)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上。
(1)求证:△ABF∽△DFE; (2)若△BEF∽△ABF,求CD∶BC的值。 |
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