操作:如图①,点O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。根据上述操作得到的经验完成下列探究活动:(本题12
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操作:如图①,点O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。根据上述操作得到的经验完成下列探究活动:(本题12
题型:不详
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操作:如图①,点O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动:(本题12分)
探究一:如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系,并证明你的结论;
探究二:如图③,DE、BC相交于点E,BA交DE于点A,且BE:EC=1:2,∠BAE=∠EDF,CF∥AB。若AB=5,CF=1,求DF的长度。
答案
解:(1)如图
(2)结论:AB=AF+CF.
证明:分别延长AE、DF交于点M.
∵E为BC的中点,
∴BE=CE,
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠M,
在△ABE与△MCE中,
∴△ABE≌△MCE,
∴AB=MC,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠M=∠EAF,
∴MF=AF,
又∵MC=MF+CF,
∴AB=AF+CF;
(3)分别延长DE、CF交于点G.
∵AB∥CF,
∴∠B=∠C,∠BAE=∠G,
∴△ABE∽△GCE,
∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
解析
(1)根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据,来画出全等三角形.
(2)本题可通过作辅助线将AB,FC,AF构建到一个相关联的三角形中,可延长AE、DF交于点M,不难证明△ABE≌△MCE,那么AB=CF,现在只要将AF也关联到三角形BEC中,我们发现,∠BAE=∠EAF,∠BAE=∠M(AB∥CD),那么三角形AMF就是个等腰三角形,AF=MF,因此AB=MC=MF+FC=AF+FC;
(3)本题的作法与(2)类似,延长DE、CF交于点G,不难得出△ABE∽△GCE,
可根据线段的比例关系和AB的值得到CG的值,然后就能得出FG的值,同(2)可得出△DFG是等腰三角形,那么DF=GF,这样就求出DF的值了.
举一反三
如图,在
□ABCD
中,
E
是
BC
的中点,且∠
AEC
=∠
DCE
,则下列结论不正确的是( )
A.
B.
C.四边形
AECD
是等腰梯形
D.
题型:不详
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如图,在边长为4的正方形
中,点
在
上从
向
运动,连接
交
于点
.
⑴试证明:无论点
运动到
上何处时,都有△
≌△
;
⑵当点
在
上运动到什么位置时,△
的面积是正方形
面积的
;
⑶若点
从点
运动到点
,再继续在
上运动到点
,在整个运动过程中,当点
运动到什么位置时,△
恰为等腰三角形.
题型:不详
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题型:不详
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已知两条线段的长分别为1和4,则它们的比例中项为
.
题型:不详
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如图,直线l
1
//l
2
,AF:FB=2:3,BC:CD=2:1,则AE:EC是
.
题型:不详
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