设f(x)=x3+mx2+nx，（1）如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f(x)的解析式； （2）如果m+n＜10（m，n∈N+）

题型：江西省高考真题难度：来源：

设f(x)=x³+mx²+nx，
（1）如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f(x)的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N₊），f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间（a，b）的长度为b-a）

答案

解：（1）已知，∴，
又在x=-2处取极值，
则，
又在x=-2处取最小值-5，
则，
∴。
（2）要使单调递减，则，
又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b，即有：b-a为区间长度。
又，
又b-a为正整数，且m+n＜10，
所以m=2，n=3或m=3，n=5符合。