如图,矩形ABCD中,E是BD上的一点,∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,点G是BC、AE延长线的交点,AG与CD相交于点F。求证:四边形ABCD是正方形
题型:不详难度:来源:
如图,矩形ABCD中,E是BD上的一点,∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED, 点G是BC、AE延长线的交点,AG与CD相交于点F。 求证:四边形ABCD是正方形; 当AE=2EF时,判断FG与EF有何数量关系?并证明你的结论。 |
答案
(1)证明:∵∠CED是△BCE的外角,∠AED是△ABE的外角, ∴∠CED=∠CBE+∠BCE,∠AED=∠BAE+∠ABE。 ∵∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,∴∠CBE=∠ABE。 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°,AB=CD。 ∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形。 ∴AB=AD=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形。 (2)解:当AE=2EF时,FG=3EF。证明如下: ∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴△ABE∽△FDE,△ADE∽△GBE。 ∵AE=2EF,∴BE:DE=AE:EF=2。∴BC:AD=BE:DE=2,即BG=2AD。 ∵BC=AD,∴CG=AD。 ∵△ADF∽△GCF,∴FG:AF=CG:AD,即FG=AF=AE+EF=3EF。 |
解析
矩形的性质,三角形外角的性质,等腰直角三角形的判定和性质,正方形的判定,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,利用三角形外角的性质,即可得∠CBE=∠ABE,又由四边形ABCD是矩形,即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形,继而证得四边形ABCD是正方形。 (2)由题意易证得△ABE∽△FDE,△ADE∽△GBE,△ADF∽△GCF,由AE=2EF,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得FG=3EF。 |
举一反三
已知三个数x, y, z,满足 则 ▲ |
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,则下列结论:①EF∥AD; ②S△ABO=S△DCO;③△OGH是等腰三角形;④BG=DG;⑤EG=HF。其中正确的个数是【 】
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 |
图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。 已知甲的路线为:A®C®B。 乙的路线为:A®D®E®F®B,其中E为AB的中点。丙的路线为:A®G®H®K®B,其中H在AB上,且AH>HB。若符号「®」表示「直线前进」,则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据,则三人行进路线长度的大小关系为 (A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 |
如图,在矩形ABCD中,E,F分别是CD,BC上的点,若∠AEF=90°,则一定有 A.△ADE∽△AEF | B.△ADE∽△ECF | C.△ECF∽△AEF | D.△AEF∽△ABF |
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如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则NM∶MC等于 |
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