如图,边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时
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如图,边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时
题型:不详
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如图,边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,点C随点P的运动而运动,连接CP、CA,过点P作PD⊥OB于点D.
(1)填空:PD的长为
(用含t的代数式表示);
(2)求点C的坐标(用含t的代数式表示);
(3)在点P从O向A运动的过程中,△PCA能否成为直角三角形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)填空:在点P从O向A运动的过程中,点C运动路线的长为
答案
(1)∵△AOB是等边三角形,
∴OB=OA=AB=4,∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°.
∵PD⊥OB,∴∠PDO=90°,∴∠OPD=30°,∴OD=
OP.∵OP=t,∴OD=
t,在Rt△OPD中,由勾股定理,得PD=
(2)如图(1)过C作CE⊥OA于E,∴∠PEC=90°,
∵OD=
t,∴BD=4-
t.
∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C,
∴∠BPC=60°.∵∠OPD=30°,
∴∠BPD+∠CPE=90°.∴∠DBP=∠CPE
∴△PCE∽△BPD
∴,
∴
,,
∴CE=
,PE=
,OE=
,∴C(
,
).
(3)如图(3)当∠PCA=90度时,作CF⊥PA,∴△PCF∽△ACF,∴
,∴CF2=PF•AF,
∵PF=
,AF=4-OF=2-
CF=
,
∴(
)2=(
)(2-
),
求得t=2,这时P是OA的中点.
如图(2)当∠CAP=90°时,C的横坐标就是4,
∴2+
=4∴t=
(4)设C(x,y),
∴x=2+
,y=
,∴y=
x-
,
∴C点的运动痕迹是一条线段.当t=0时,C1(2,0),当t=4时,C2(5,
),∴由两点间的距离公式得:C
1
C
2
=2
.
解析
此题考核相似三角形的判定和性质,旋转的性质
举一反三
如图,在正方形
ABCD
中,
E
为对角线
AC
上一点,联结
EB
、
ED
,延长
BE
交
AD
于点
F
.
(1)求证:∠
BEC
=∠
DEC
;
(2)当
CE
=
CD
时,求证:
.
题型:不详
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如图,已知
中,
,
,
,
是
边上的中点,
是
边上的点(不与端点重合),
是
边上的点,且
∥
,延长
与直线
相交于点
,
点是
延长线上的点,且
,联结
,设
,
.
(1)求
关于
的函数关系式及其定义域;
(2)联结
,当以
为半径的
和以
为半径的
外切时,求
的正切值;
(3)当
与
相似时,求
的长.
题型:不详
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如图,直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD.
(1)填空:点C的坐标是(
,
),点D的坐标是(
,
);
(2)设直线CD与AB交于点M,求线段BM的长;
(3)在y轴上是否存在点P,使得△BMP是等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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下列条件中,能判定两个等腰三角形相似的是
A.都含有一个30°的内角
B.都含有一个45°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个80°的内角
题型:不详
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如图, DE是△ABC的中位线,M是DE的中点, 若△ABC 的面积为48 cm
2
,则△DMN 的面积为
▲
cm
2
题型:不详
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|
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