如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的动点(不与A、B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O中作内接矩
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如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的动点(不与A、B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O中作内接矩
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如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,M是AB上的动点(不与A、B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O中作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在点M的运动过程中,设△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,求y关于x的函数关系式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
答案
(1)
(2)当
时,⊙O与直线BC相切
(3)8
解析
解:(1)∵MN∥BC, ∴△AMN∽△ABC.
∴
, 即
.
∴ AN=
x.
∴
.……………………………… 2分
(2)如图2,作OD⊥BC于点D,当OD =
MN时,⊙O与直线BC相切.
在Rt△ABC中,BC =
=10.
由(1)知 △AMN ∽△ABC.
∴
,即
.
∴ MN=
.
过M点作ME⊥BC 于点E,
∵sinB=
,∴
.
∴
.
∴
,解得
.
∴当
时,⊙O与直线BC相切. ………………… 4分
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,如图3,连结AP,则O点为AP的中点.
∵ MN∥BC,
∴
,即 AM=MB=4.
故分以下两种情况讨论:
①当0<
≤4时,
.
∴ 当
=4时,
.……………… 5分
②当4<
<8时,如图4,设PM、PN分别交BC于E、F.
∵ 四边形AMPN是矩形, ∴ PN∥AM,PN=AM=x.
又∵ MN∥BC, ∴ 四边形MBFN是平行四边形.
∴ FN=BM=8-x.
∴PF="PN–FN" =" x" -(8 - x) =" 2x" -8.
又△PEF∽△ACB,∴
.
∴
.
∴
=
.
∵ 二次项系数
,且当
时,满足4<
<8,
∴
.…………………………………………………………………………… 6分
综上所述,当
时,
值最大,最大值是8. …………………… 7分
举一反三
已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F.如图甲,当AC=BC,且CE=EA时,则有EF=EG;
(1)如图乙①,当AC=2BC,且CE=EA时,则线段EF与EG的数量关系是:EF EG;
(2)如图乙②,当AC=2BC,且CE=2EA时,请探究线段EF与EG的数量关系,并证明你的结论;
(3)当AC=mBC,且CE=nEA时,请探究线段EF与EG的数量关系,直接写出你的结论(不必证明).
题型:不详
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如图,已知直角坐标系中四点A(-2,4),B(-2,0),C(2,-3),D(2,0),设P是x轴上的点,且P
A.P
B.AB所围成的三角形与P
C.P
D.CD所围成的三角形相似,则所有符合上述条件的点P有:________个.
题型:不详
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AB是⊙O的直径,点E是半圆上一动点(点E与点A、B都不重合),点C是BE延长线上的一点,且CD⊥AB,垂足为D,CD与AE交于点H,点H与点A不重合。
(1)(5分)求证:△AHD∽△CBD
(2)(4分)连HB,若CD=AB=2,求HD+HO的值
题型:不详
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如图,在
中,
是边
的中点,过点O的直线
将
分割成两个部分,若其中的一个部分与
相似,则满足条件的直线
共有__条
题型:不详
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如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明你的理由;
(2)若AB=,BC=2,求⊙O的半径.
题型:不详
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