如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.(1)求证:AF=BE;(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、
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如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE. (1)求证:AF=BE; (2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.
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答案
(1)证明见解析;(2)MP与NQ相等,理由见解析. |
解析
试题分析:(1)根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAE=∠D=90°,再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF,然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等,再根据全等三角形的证明即可; (2)过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,然后与(1)相同. 试题解析:(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°, ∴∠DAF+∠BAF=90°, ∵AF⊥BE, ∴∠ABE+∠BAF=90°, ∴∠ABE=∠DAF, ∵在△ABE和△DAF中, , ∴△ABE≌△DAF(ASA), ∴AF=BE; (2)解:MP与NQ相等. 理由如下:如图,过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,
∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形, ∴AF=PM,BE=NQ, ∴在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°, ∴∠DAF+∠BAF=90°, ∵AF⊥BE, ∴∠ABE+∠BAF=90°, ∴∠ABE=∠DAF, ∵在△ABE和△DAF中, , ∴△ABE≌△DAF(ASA), ∴AF=BE; ∴MP=NQ. |
举一反三
若一个多边形的每一个外角都是40°,则这个多边形是( ) |
已知:如图,E是AC上一点,AB=CE,AB∥CD,∠ACB =∠D.求证:BC =ED.
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在△ABC中,,设c为最长边.当时,△ABC是直角三角形;当时,利用代数式和的大小关系,可以判断△ABC的形状(按角分类). (1)请你通过画图探究并判断:当△ABC三边长分别为6,8,9时,△ABC为____三角形;当△ABC三边长分别为6,8,11时,△ABC为______三角形. (2)小明同学根据上述探究,有下面的猜想:“当时,△ABC为锐角三角形;当时,△ABC为钝角三角形.” 请你根据小明的猜想完成下面的问题: 当,时,最长边c在什么范围内取值时,△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形? |
已知:如图,△MNQ中,MQ≠NQ. (1)请你以MN为一边,在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形,画出图形,并简要说明构造的方法;
(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题: 如图,在四边形ABCD中,,∠B=∠.求证:CD=AB.
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