已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别是OB、OC上的动点,(1)如果动点E、F满足BE=CF(如图):①写出所有以点E或F为顶点的全等三角
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已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别是OB、OC上的动点, (1)如果动点E、F满足BE=CF(如图): ①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形(不得添加辅助线); ②证明:AE⊥BF; (2)如果动点E、F满足BE=OF(如图),问当AE⊥BF时,点E在什么位置,并证明你的结论.
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答案
(1)①△ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA ②见解析 (2)见解析 |
解析
(1)①根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形,②根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论。 (2)根据正方形性质及已知条件由ASA得出△ABE≌△BCF,即可由等量代换得证。 (1)①△ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA ②证明:如图,延长AE 交BF 于点M,
∵ABCD 是正方形,∴AB=BC, ∠BCF=∠ABE。 ∵BE=CF,∴△ABE≌△BCF(SAS)。∴∠CBF=∠BAE ∵∠ABE+∠EBM+∠CBF=90°, ∴∠ABE+∠EBM+∠BAE =90°。 ∴∠AMB=90°。∴AE⊥BF。 (2)点E 是OB 的中点。证明如下: ∵ABCD 是正方形,∴AB=BC, ∠BCF=∠ABE。 ∵AE⊥BF,∴∠AMB=90°。∴∠ABE+∠EBM+∠BAE =90°。 ∴∠ABE+∠EBM+∠CBF=90°。∴∠CBF=∠BAE。∴△ABE≌△BCF(ASA)。 ∴BE=CF。 ∵BE=OF,∴CF=OF。 又∵OB=OC,∴BE=OE。∴点E是OB 的中点。 |
举一反三
如图,在△ABC中,∠CAB=70º,将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置,连接EC,满足EC∥AB, 则∠BAD的度数为
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如图,已知AB=AC,DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点,若∠A=40º,则∠EBC= º.
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如图,在□ABCD中,E、F为对角线BD上的两点,且BE=DF.求证:∠BAE=∠DCF.
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如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)试判断线段BD与CD的大小关系; (2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论; (3)若△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°时,判断四边形AFBD的形状,并说明理由. |
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