如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=900,∠B=∠E=300.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转。当点D

如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=900,∠B=∠E=300.(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转。当点D

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如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=900,∠B=∠E=300.

(1)操作发现如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转。当点D恰好落在BC边上时,填空:线段DE与AC的位置关系是     
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2。则S1与S2的数量关系是     
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC,CE边上的高,请你证明小明的猜想。
(3)拓展探究
已知∠ABC=600,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,OE∥AB交BC于点E(如图4),若在射线BA上存在点F,使S△DCF =S△BDC,请直接写出相应的BF的长
答案
解:(1)①DE∥AC。②
(2)仍然成立,证明如下:
∵∠DCE=∠ACB=900,∴∠DCM+∠ACE=1800
又∵∠ACN+∠ACE=1800,∴∠ACN =∠DCM 。
又∵∠CAN=CMD==900,AC=CD,∴△ANC≌△DMC(AAS)。∴AN=DM。
又∵CE=CB,∴
(3)
解析
(1)①由旋转可知:AC=DC,
∵∠C=900,∠B=∠DCE=300,∴∠DAC=∠CDE=600。∴△ADC是等边三角形。
∴∠DCA=600。∴∠DCA=∠CDE=600。∴DE∥AC。
②过D作DN⊥AC交AC于点N,过E作EM⊥AC交AC延长线于M,过C作CF⊥AB交AB于点F。

由①可知:△ADC是等边三角形, DE∥AC,∴DN=CF,DN=EM。
∴CF=EM。
∵∠C=900,∠B =300,∴AB=2AC。
又∵AD=AC,∴BD=AC。
,∴
(2)通过AAS证明△ANC≌△DMC,即可得AN=DM,从而由CE=CB得到
(3)如图所示,作DF1∥BC交BA于点F1,作DF2⊥BD交BA于点F2。F1,F2即为所求。
按照(1)(2)求解的方法可以计算出

举一反三
在△ABC中,AB=,BC=1,∠ABC=450,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=900,连接CD,则线段CD的长为     
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我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”,“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”).已知等边三角形的边长为2,则它的“面径”长可以是     (写出1个即可).
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如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=900,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.

①求证:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=300,求∠BDC的度数.
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如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,线段AG,BG分别交CD于点E,F,DE=CF.求证:△GAB是等腰三角形.

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一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图,已知在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,于点O,点PD分别在AO和BC上,PB=PD,DE⊥AC于点E,求证:△BPO≌△PDE.

(1)理清思路,完成解答(2)本题证明的思路可用下列框图表示:

根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程.
(2)特殊位置,证明结论
若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证:AP=CD.
(3)知识迁移,探索新知
若点P是一个动点,点P运动到OC的中点P′时,满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′,请直接写出CD′与AP′的数量关系.(不必写解答过程)
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