已知,如图:在△ABC中,∠ABC = 70°,∠ACB = 50°,E分别为AC、AB上的点,且BE = CD,G、M、N分别为BC、BD、CE的中点。(1)
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已知,如图:在△ABC中,∠ABC = 70°,∠ACB = 50°,E分别为AC、AB上的点,且BE = CD,G、M、N分别为BC、BD、CE的中点。 (1) 求∠MGN与∠A的度数相等吗?说明理由。 (2) 判断△GMN的形状,说明理由。 |
答案
(1)相等; ∵G、M、N分别为BC、BD、CE的中点, ∴GM∥CD,GN∥BE, ∴∠BGM=∠ACB=50°,∠CGN=∠ABC=70°, ∴∠MGN=180°-∠BGM-∠CGN=60°, 已知∠ABC=70°,∠ACB=50°, ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°, ∴∠MGN=∠A; (2)等边三角形; ∵G、M、N分别为BC、BD、CE的中点, ∴GM=CD,GN=BE, 又已知BE=CD, ∴GM=GN, ∴∠GMN=∠CNM, 又∵∠MGN=60°, ∴∠GMN=∠CNM=(180°-60°)=60°, ∴∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°, ∴△GMN为等边三角形. |
解析
(1)由G、M、N分别为BC、BD、CE的中点根据三角形中位线定理可得GM∥CD,GN∥BE,继而得∠BGM=∠ACB=50°,∠CGN=∠ABC=70°,所以得∠MGN=60°,再由三角形内角和定理得∠A=60°,所以∠MGN与∠A的度数相等; (2)由已知BE=CD,G、M、N分别为BC、BD、CE的中点,根据三角形中位线定理可得GM=GN,则得∠GMN=∠CNM,由(1)得出∠MGN=60°,再根据三角形内角和定理得出∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°,所以得△GMN的形状为等边三角形. |
举一反三
如图,在ΔABC中,D为AB边上的一点,且S△ACD=S△BCD ,则CD是ΔABC的( ) |
用尺规作一个角的角平分线的示意图如下,则说明∠AOE =∠BOE的依据是( ) |
如图,△ABC中,BC=4cm, AB=5cm,AC的垂直平分线MN与AB交于点D,则△BCD的 周长是 cm. |
如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,若不添加任何字母和辅助线,要使△ABC≌△DCB,则还 需增加的一个条件是 .(只需写出一个条件) |
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