如图，四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F. 试说明：（1）△CBE≌△CDF; （2）AB＋AD＝2A

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如图，四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F. 试说明：（1）△CBE≌△CDF; （2）AB＋AD＝2AF.

答案

证明见解析

解析

(1)  ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD
∴ CE=CF
∵ ∠ABC+∠CBE=180º
∠ABC＋∠D＝180°
∴∠CBE=∠D               ………………2分
在 △CBE与△CDF中
∠CBE=∠D
∠BEC=∠CFD
CE=CD
△CBE≌△CDF(AAS)         ………………5分
(2) ∵ △CBE≌△CDF(AAS)
∴BE=DF
在 △AEC与△AFC中
CE=CF
AC=AC
△AEC ≌△AFC(HL)     ………………8分
∴AE=AF
∴AB＋AD＝AE＋AF  
∴AB＋AD＝2AF          ………………10分
（1）根据角平分线的性质可得到CE=CF，根据余角的性质可得到∠EBC=∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF．
（2）已知EC=CF，AC=AC，则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE=AF，最后证得AB＋AD＝2AF.即可．