如图，射线BN、AM都垂直于线段AB，E为AM上一动点，⊥于F，交BN于C，⊥于，连接BD．⑴求证：；⑵当为的中点时，求证： ；⑶设，请探究出使为等腰三角形的实

题型：不详难度：来源：

如图，射线BN、AM都垂直于线段AB，E为AM上一动点，⊥于F，交BN于C，⊥于，连接BD．

⑴求证：；
⑵当为的中点时，求证： 
；
⑶设，请探究出使为
等腰三角形的实数的值．

答案

⑴4分，证明略．
⑵4分，由⑴有，因为为的中点，所以，则，又因为，所以，则．
⑶4分．，（同样算对）
探究出一个解，得1分；探究出两个解共得2分；探究出三个解共得4分；
以下解法供参考
要使为等腰三角形，分三种情况讨论，
①为腰，且为顶角顶点；
②为腰，且为顶角顶点；
③为底．
①为腰，且为顶角顶点；

由⑵当为的中点时，可知，又易知四边形为矩形，所以，又易知，所以；又由四边形为矩形可知，，所以，从而，于是，则为等腰三角形，此时；
②为腰，且为顶角顶点；
此时，，容易得到，则点为黄金分割点，；
③为底．
此时，，容易得到，不难得到四边形为正方形，

解析

(1)中利用⊥
得到直角三角形AEF相似于三角形ABE，然后得到结论。
（2）中，
由⑴有，因为为的中点，所以
则可以得到

从而的得到角相等
（3）中，设，当使为
等腰三角形时，需要考查谁是腰，分类讨论得到
①为腰，且为顶角顶点；
②为腰，且为顶角顶点；
③为底．
①为腰，且为顶角顶点；
解得答案为