已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.求证：（1）AE=DB；（2）△CMN为等边

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已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.

求证：（1）AE=DB；
（2）△CMN为等边三角形.

答案

证明略

解析

证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，………… 2分
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB． ……………… 3分
在△ACE和△DCB中，

∴△ACE≌△DCB(SAS)．             ………… 5分
∴AE＝DB．                          ……………… 6分
(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
即∠CAM＝∠CDN．              ……………… 7分
∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．
又点A、C、B在同一条直线上，
∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°，
即∠DCN＝60°．
∴∠ACM＝∠DCN．                     ………… 8分
在△ACM和△DCN中，