如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过P作PE⊥AB交AC边于点E，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，

题型：湖南省月考题难度：来源：

如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过P作PE⊥AB交AC边于点E，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB周长为y．
（1）求证：△APE∽△ACB；
（2）写出y与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象．

答案

（1）证明∵PE⊥AB，
∴∠APE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠APE=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB；
（2）解：在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴，
∵AP=x，
∴PE=x，，
∴=，
过点C作CF⊥AB于F，依题意可得：CF10=×8×6，
∴CF=4.8，
∴x＜4.8，解得：x＜6.4，
∴0＜x＜6.4（当x≥6.4时不能构成四边形PECB），
∴y与x的函数关系式为：y=24﹣x（0＜x＜6.4）
y与x的函数图象如图．