已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BC

题型：上海中考真题难度：来源：

已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上，以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。
（1）如图，如果AP=2PB，PB=BO，求证：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m＞1），BP=1，OP是OA，OB的比例中项，当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。

答案

解：（1）∵，
∴AO=2PO，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）设，则OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中项，
∴
得，即，
∴
∵OP是OA，OB的比例中项，即，
∵，
∴，
设圆O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，
∵
∴
∴
∴；
当点C与点P或点Q重合时，可得，
当点C在圆O上运动时，；
（3）由（2）得，，且，，圆B和圆C的圆心距d=BC，显然，
∴圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含，
当圆B与圆C相交时，，得，
，
当圆B与圆C内切时，，得m=2；
当圆B与圆C内含时，，得m>2。