如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC。求证：（1）OC⊥DE；（2）△ACD∽△CBD。

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如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC。

求证：（1）OC⊥DE；
（2）△ACD∽△CBD。

答案

证明：（1）∵OE=OD，
∴△ODE是等腰三角形，
又EC=DC，
∴C是底边DE上的中点，
∴OC⊥DE；
（2）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
又∠DCA+∠ACO=90°，∠ACO=∠BAC，
∴∠DCA=∠B，又∠ADC=∠CDB，
∴△ACD∽△CBD。

举一反三

如图，在△ABC中，DE∥BC， EF∥AB。
求证：△ADE∽△EFC。

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如图，有两个动点E，F分别从正方形ABCD的两个顶点B，C同时出发，以相同速度分别沿边BC和CD移动，问：

（1）在E，F移动过程中，AE与BF的位置和大小有何关系？并给予证明；
（2）若AE和BF相交点O，图中有多少对相似三角形？请把它们写出来。

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如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有

[ ]
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对

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如图所示，给出下列条件：
①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③

；④AC²=AD·AB。
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为

[ ]
A.1
B.2
C.3
D.4

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已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（3，0）、C（0，4），点D的坐标为（-5，0），点P是直线AC上的一动点，直线DP与轴交于点M，问：

（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；
（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P，若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F，请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由。
注：第（3）问请用备用图解答

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