如图，在矩形ABCD中，AB =6，AD =11。直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E。（1）

题型：海南省期末题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，AB =6，AD =11。直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E。
（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；
（2）当∠PCD =30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；若不存在，请说明理由。

答案

（1）△CDP∽△PAE
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=∠A=90°，CD=AB=6
∴ ∠PCD+∠DPC=90°
又∵ ∠CPE=90°
∴ ∠EPA+∠DPC=90°
∴ ∠PCD=∠EPA
∴ △CDP∽△PAE
（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD =


（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11-x
由△CDP∽△PAE知，
∴ ，
解得x=8，
此时AP=3，AE=4