如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒

题型：不详难度：来源：

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；
③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∴CH=8-2=6．
∵CD=10，
∴DH²+CH²=CD²∴∠DHC=90°．
∠B=∠DHC=90°．
∴梯形ABCD是直角梯形．
∴S_ABCD=

1

2

（AD+BC）AB=

1

2

×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=t，
∴AP=8-t，DQ=10-t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-t+2+10-t=t+8+t．
∴t=3＜8．
∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C
∴tan∠ADP=tan∠C=

8

6

=

4

3

∴

8-t

2

=

4

3

，∴t=

16

3

若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C
∴tan∠APD=tan∠C=

8

6

=

4

3

，∴

2

8-t

=

4

3

∴t=

13

2

第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；
第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；
∴t=

16

3

或t=

13

2

时，△PAD与△CQE相似．

③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-t，AD=2，
∴PD=

AP2+AD2

=

t2-16t+68

．
∵CE=

3

5

t，QE=

4

5

t，
∴QH=BE=8-

3

5

t，BH=QE=

4

5

t．
∴PH=t-

4

5

t=

1

5

t．
∴PQ=

QH2+PH2

=

2 5 t2- 48 5 t+64

，DQ=10-t．
Ⅰ：DQ=DP，10-t=

t2-16t+68

，
解得t=8秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-t=

2 5 t2- 48 5 t+64

，
化简得：3t²-52t+180=0
解得：t=

26-2 34

3

，t=

26+2 34

3

＞8（不合题意舍去）
∴t=

26-2 34

3

第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10-t．
∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t-10．
∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=

26-2 34

3

或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．