已知:如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,斜边AB的长为4,过点C作射线CP//AB,D为射线CP上一点,E在边BC上(不与B、C重合),且∠DAE=45°

已知:如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,斜边AB的长为4,过点C作射线CP//AB,D为射线CP上一点,E在边BC上(不与B、C重合),且∠DAE=45°

题型:不详难度:来源:
已知:如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,斜边AB的长为4,过点C作射线CP//AB,D为射线CP上一点,E在边BC上(不与B、C重合),且∠DAE=45°,AC与DE交于点O.

(1)求证:△ADE∽△ACB;
(2)设CD=x,BAE = y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)如果△COD与△BEA相似,求CD的值.
答案
(1)略;(2)y= ,定义域0<x<2;(3)当CD=时,△COD与△BEA相似.
解析

试题分析:
(1)根据等腰三角形的性质,得出角相等,然后角的等量代换,得出其余角相等,即可证明三角形相似;
由(1)的结论可以得到线段成比例,解直角三角形即可求出函数解析式,并确定定义域;
先由相似得出线段比例关系,设未知数解方程即可.
试题解析:
(1)证明:∵△ACB是等腰直角三角形
∴∠CAB=∠B=45°
∵CP//AB
∴∠DCA=∠CAB=45°
∴∠DCA=∠B
∵∠DAE=45°
∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAB
∴∠DAC=∠EAB
∴△DCA∽△EAB

且∠DAE=∠CAB=45°
∴△ADE∽△ACB.
(2)过点E作EH⊥AB于点H
由(1)得△DCA∽△EAB

∵△ACB是等腰直角三角形,且CD=x
∴EB=x
∴EH=BH=x
∴AH=4—x
在Rt△AEH中,BAE=
即y=
定义域0<x<2.
(3)若△COD与△BEA相似,又△BEA与相似△DCA
即△COD与△DCA相似
∴只有△DCO∽△ACD

∵∠DAO=∠CEO
∴∠CEO=∠EAB
∴tan∠CEO=y



解得
经检验都是原方程的实数根,不合题意舍去
∴当CD=时,△COD与△BEA相似.

举一反三
在Rt△ABC轴,∠C=90°,a=4,b=3,则cosA的值是(  )
A.B.C.D.

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如图,河对岸有古塔AB.小敏在C处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进20米到达D.在D处测得A的仰角为45°,则塔高是多少米?

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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,下列结论正确的是… (  )
A.sinA=B.tanA=C.cosB=D.tanB=

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河堤横断面如图所示,堤高BC=4米,迎水坡AB坡比为1:,则AB长为____米.

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如图,从热气球P上测得两建筑物A、B的底部的俯角分别为45°和30°,如果A、B两建筑物的距离为60米,P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上,求热气球P的高度.(结果保留根号)

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