试题分析:(1)证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C=30°, ∵△DEF是等边三角形, ∴∠FDE=∠FED=60°, ∴∠MDB=∠NEC=120°, ∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°, ∴△BMD∽△CNE; (2)过点M作MH⊥BC, ∵以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切, ∴MH=MF, 设BD=x, ∵△DEF是等边三角形, ∴∠FDE=60°, ∵∠B=30°, ∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B, ∴DM=BD=x, ∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x, 在Rt△DMH中,sin∠MDH=sin60°===, 解得:x=16﹣8, ∴当BD=16﹣8时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切; (3)过点M作MH⊥BC于H,过点A作AK⊥BC于K, ∵AB=AC, ∴BK=BC=×8=4, ∵∠B=30°, ∴AK=BK•tan∠B=4×=, ∴S△ABC=BC•AK=×8×=, 由(2)得:MD=BD=x, ∴MH=MD•sin∠MDH=x, ∴S△BDM=•x•x=x2, ∵△DEF是等边三角形且DE=4,BC=8, ∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x, ∵△BMD∽△CNE, ∴S△BDM:S△CEN=()2=, ∴S△CEN=(4﹣x)2, ∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=﹣x2﹣(4﹣x)2=﹣x2+2x+=﹣(x﹣2)2+(0≤x≤4), 当x=2时,y有最大值,最大值为.
点评:中考压轴题,综合性较强,难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用 |