试题分析:(1)连接BD、DO,OE,只要证明∠ODE=90°,OD是半径,就可得到DE是⊙O的切线; (2)根据△ADB∽△BDC,从而根据相似比不难求得BD的长; (3)根据平行线分线段成比例进行分析. 试题解析:(1)如图1,连接BD,OD,OE.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191104/20191104233500-45845.png) ∵AB是直径, ∴∠ADB=∠CDB=90°. ∵E是BC中点, ∴DE=EC=EB, 又∵OD=OB,OE=OE, ∴△ODE≌△OBE(SSS), ∴∠ODE=∠OBE=90°, ∴OD⊥DP, ∴PD是⊙O的切线; (2)∵OB=BP,∠ODP=90°, ∴DB=OB=BP,即DB=OB=OD. ∴△ODB是等边三角形. ∴∠DOB=60°. ∴∠A=30°, 又∵∠ABC=90°, ∴∠C=60°. ∴∠CBD=30°. ∴ , , 设 , , ∵AD=6, ∴ . ∴ . ∴BC=4; (3)如图2,连接BD,OE.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191104/20191104233502-45884.png) ∵tan∠C=2,∠CDB=90°, ∴ =2. 又∵∠ABD=∠C=60°, ∴ =2, 设 , , , ∴AC= . ∵O是AB中点,E是BC中点, ∴ , ∴ , ∴ . |