试题分析:(1)连接OD,如图1所示,由OD=OC,根据等边对等角得到一对角相等,再由∠DOB为△COD的外角,利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,等量代换可得出∠DOB=2∠DCB,又∠A=2∠DCB,可得出∠A=∠DOB,又∠ACB=90°,可得出直角三角形ABC中两锐角互余,等量代换可得出∠B与∠ODB互余,即OD垂直于BD,确定出AB为圆O的切线,得证; (2)法1:过O作OM垂直于CD,根据垂径定理得到M为DC的中点,由BD垂直于OD,得到三角形BDO为直角三角形,再由BE=OE=OD,得到OD等于OB的一半,可得出∠B=30°,进而确定出∠DOB=60°,又OD=OC,利用等边对等角得到一对角相等,再由∠DOB为三角形DOC的外角,利用外角的性质及等量代换可得出∠DCB=30°,在三角形CMO中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OC=2OM,由弦心距OM的长求出OC的长,进而确定出OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长; 法2:过O作OM垂直于CD,连接ED,由垂径定理得到M为CD的中点,又O为EC的中点,得到OM为三角形EDC的中位线,利用三角形中位线定理得到OM等于ED的一半,由弦心距OM的长求出ED的长,再由BE=OE,得到ED为直角三角形DBO斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,由DE的长求出OB的长,再由OD及OB的长,利用勾股定理即可求出BD的长. 试题解析:(1)证明:连接OD,如图1所示:
∵OD=OC, ∴∠DCB=∠ODC, 又∠DOB为△COD的外角, ∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB, 又∵∠A=2∠DCB, ∴∠A=∠DOB, ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠B=90°, ∴∠DOB+∠B=90°, ∴∠BDO=90°, ∴OD⊥AB, 又∵D在⊙O上, ∴AB是⊙O的切线; (2)解法一: 过点O作OM⊥CD于点M,如图1, ∵OD=OE=BE=BO,∠BDO=90°, ∴∠B=30°, ∴∠DOB=60°, ∵OD=OC, ∴∠DCB=∠ODC, 又∵∠DOB为△ODC的外角, ∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB, ∴∠DCB=30°, ∵在Rt△OCM中,∠DCB=30°,OM=1, ∴OC=2OM=2, ∴OD=2,BO=BE+OE=2OE=4, ∴在Rt△BDO中,根据勾股定理得:BD=; 解法二: 过点O作OM⊥CD于点M,连接DE,如图2,
∵OM⊥CD, ∴CM=DM,又O为EC的中点, ∴OM为△DCE的中位线,且OM=1, ∴DE=2OM=2, ∵在Rt△OCM中,∠DCB=30°,OM=1, ∴OC=2OM=2, ∵Rt△BDO中,OE=BE, ∴DE=BO, ∴BO=BE+OE=2OE=4, ∴OD=OE=2, 在Rt△BDO中,根据勾股定理得BD=. 考点: 1.切线的判定;2.含30度角的直角三角形;3.垂径定理;4圆周角定理. |