已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.(1

已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.(1

题型:不详难度:来源:
已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:OE•OP=

(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立?请说明理由.

答案
(1)证明见解析;(2)成立, 理由见解析.
解析

试题分析:(1)要证等积式,需要将其化为比例式,再利用相似证明. 观察图形,此题显然要连半径OF,构造OE、OP所在的三角形, 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF. 而要证明△FOE∽△POF,由于已经存在一个公共角,因此只需再证明另一角对应相等即可,这一点利用圆周角定理及其推论可获证.(2)同(1)类似.
试题解析:(1)连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ.
∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°. ∴∠QFD+∠Q=90°.
∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°.
∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P.
∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF. ∴. ∴OE·OP=OF2=r2.

(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,(1)中的结论成立. 理由如下:
依题意画出图形(如图),连接FO并延长交⊙O于M,连接CM.
∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°. ∴∠M+∠CFM=90°.
∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°.
∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E.
∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE. ∴. ∴OE·OP=OF2=r2.

举一反三
如图,DC是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是(  )
A.B.AF=BFC.OF=CFD.∠DBC=90°

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如图,点A、B、C在⊙O上,若∠C=30°,则∠AOB的度数为______°.

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若圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,则它的侧面展开图的面积为__________cm2(结果保留π).
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如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数图象上任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B.

(1)求证:线段AB为⊙P的直径;
(2)求△AOB的面积;
(3)如图2,Q是反比例函数图象上异于点P的另一点,以Q为圆心,QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D,求证:DO·OC=BO·OA.
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已知圆锥的母线为10,底面圆的直径为12,则此圆锥的侧面积是(  )
A.24πB.30πC.48πD.60π

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