如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连接AC交⊙O于点D,E为上一点,连结AE,BE,BE交AC于点F,且AE2=EF•EB.(1)求证:CB=CF;(2
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如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连接AC交⊙O于点D,E为上一点,连结AE,BE,BE交AC于点F,且AE2=EF•EB.(1)求证:CB=CF;(2
题型:不详
难度:
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如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连接AC交⊙O于点D,E为
上一点,连结AE,BE,BE交AC于点F,且AE
2
=EF•EB.
(1)求证:CB=CF;
(2)若点E到弦AD的距离为1,
,求⊙O的半径.
答案
(1)证明:如图,
∵AE
2
=EF•EB,∴
。
又∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△AEB。
∴∠1=∠EAB。
∵BC是⊙O的切线,∴∠3=∠EAB。
又∵∠1=∠2,
∴∠2=∠3。∴CB=CF。
(2)如图,连接OE交AC于点G,设⊙O的半径是r,
由(1)知,△AEF∽△AEB,则∠EAF=∠EBA,∴
。∴OE⊥AD。
∵点E到弦AD的距离为1,∴EG=1。
∵
,且∠C+∠GAO=90°,∴
。
∴
,即
。
解得,
,即⊙O的半径是
。
解析
(1)如图,通过相似三角形(△AEF∽△AEB)的对应角相等推知,∠1=∠EAB;又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3;最后根据等角对等边证得结论。
(2)如图,连接OE交AC于点G,设⊙O的半径是r,由(1)中的相似三角形的性质证得∠EAF=∠EBA,所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点,则OE⊥AD;然后通过解直角△ABC求得cos∠C
=sin∠GAO=
,即可求得r的值。
举一反三
如图,直线
与⊙O相切于点D,过圆心O作EF∥
交⊙O于E、F两点,点A是⊙O上一点,连接AE,AF,并分别延长交直线
于B、C两点;
(1)求证:∠ABC+∠ACB=90°;
(2)若⊙O的半径
,BD=12,求tan∠ACB的值.
题型:不详
难度:
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如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是
.
题型:不详
难度:
|
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如图,AB是⊙O的直径,∠B=∠CAD.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若点E是
的中点,连接AE交BC于点F,当BD=5,CD=4时,求AF的值.
题型:不详
难度:
|
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如图,PO是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,PO=26cm,PA="24" cm,则⊙O的周长为【 】
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AO与⊙O交于点C,若∠BAO=40
0
,则∠OCB的度数为【 】
A.40
0
B.50
0
C.65
0
D.75
0
题型:不详
难度:
|
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