试题分析:连接OT、OD、过O作OM⊥AD于M,得到矩形OMCT,求出OM,求出∠OAM,求出∠AOT,求出OT∥AC,得出PC是圆的切线,得出等边三角形AOD,求出∠AOD,求出∠DOT,求出∠DTC=∠CAT=30°,求出DC,求出梯形OTCD的面积和扇形OTD的面积.相减即可求出答案. 连接OT、OD、DT,过O作OM⊥AD于M
∵OA=OT,AT平分∠BAC, ∴∠OTA=∠OAT,∠BAT=∠CAT, ∴∠OTA=∠CAT, ∴OT∥AC, ∵PC⊥AC, ∴OT⊥PC, ∵OT为半径, ∴PC是⊙O的切线, ∵OM⊥AC,AC⊥PC,OT⊥PC, ∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°, ∴四边形OMCT是矩形, ∴OM=TC=, ∵OA=2, ∴sin∠OAM=, ∴∠OAM=60°, ∴∠AOM=30° ∵AC∥OT, ∴∠AOT=180°-∠OAM=120°, ∵∠OAM=60°,OA=OD, ∴△OAD是等边三角形, ∴∠AOD=60°, ∴∠TOD=120°-60°=60°, ∵PC切⊙O于T, ∴∠DTC=∠CAT=∠BAC=30°, ∴tan30°=, ∴DC=1,
点评:本题综合性比较强,有一定的难度,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力. |