如图所示,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60º.(1)求⊙O的直径;(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;(3
题型:不详难度:来源:
如图所示,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60º.
(1)求⊙O的直径; (2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切; (3)若动点E以2cm/s的速度从点A出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从点B出发沿BC方向运动,设运动时间为t(s)(0<t<2),连结EF,当t为何值时,△BEF为直角三角形. |
答案
(1)4cm;(2)2cm;(3)t=1s或t=1.6s时 |
解析
试题分析:(1)先根据圆周角定理可得∠ACB=90º,再由∠ABC=60º可得∠BAC=30º,再根据含30°角的直角三角形的性质即可求得结果; (2)连结OC,根据切线的性质可得∠OCD=90º,根据圆周角定理可得∠COD=60º,从而可得∠D=30º ,再根据含30°角的直角三角形的性质即可求得结果; (3)根据题意得BE=(4-2t)cm,BF=tcm,分∠EFB=90º与∠FEB=90º两种情况结合相似三角形的性质即可求得结果. (1)∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90º ∵∠ABC=60º ∴∠BAC=180º-∠ACB-∠ABC=30º ∴AB=2BC=4cm,即⊙O的直径为4cm; (2)如图,连结OC.
∵CD切⊙O于点C, ∴CD⊥CO ∴∠OCD=90º ∵∠BAC=30º ∴∠COD=2∠BAC=60º. ∴∠D=180º-∠COD-∠OCD=30º ∴OD=2OC=4cm ∴BD=OD-OB=4-2=2cm ∴当BD长为2cm时,CD与⊙O相切; (3)根据题意,得BE=(4-2t)cm,BF=tcm;
如图,当∠EFB=90º时,△BEF为直角三角形, ∵∠EFB=∠ACB,∠B=∠B ∴△BEF∽△BAC ∴,即,解得t=1.
如图,当∠FEB=90º时,△BEF为直角三角形, ∵∠FEB=∠ACB,∠B=∠B, ∴△BEF∽△BCA. ∴,即,解得t=1.6. ∴当t=1s或t=1.6s时,△BEF为直角三角形. 点评:本题知识点多,综合性强,难度较大,一般是中考压轴题,主要考查学生对圆的性质的熟练掌握情况. |
举一反三
如图,PA切⊙O于A,PO交⊙O于B,PA=6,PB=4,则⊙O的半径为 ( )
A.5 | B.3 | C.2.5 | D. |
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如图,扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为1,则这个侧锥的底面半径为 ( )
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如图,量角器外缘上有A、B、C三点,其中A、B两点所表示的读数分别是80º、50º,则∠ACB等于 ____º. |
如图,OAB是半径为6、圆心角∠AOB=30º的扇形,AC切弧AB于点A交半径OB的延长线于点C,则图中阴影部分的面积为 ____(答案保留π). |
如图,O1O2=7,⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3,O1O2交⊙O2于点P.若将⊙O 1以每秒60°的速度绕点P顺时针方向旋转一周,则⊙O1与⊙O2最后一次相切时的旋转时间为_____________秒 |
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