已知点A（1，1）是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．（1）求椭圆的方程及离心率；

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已知点A（1，1）是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．（1）求椭圆的方程及离心率；

题型：不详难度：来源：
已知点A（1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点C，D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由．
答案
（1）∵A（1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一点，F1、F2为两个焦点，
|AF1|+|AF2|=4，
∴2a=4，a=2，（2分）
 
1
4
+
1
b2
=1，
∴b2=
4
3
，∴c2=4-
4
3
=
8
3
，（4分）
∴e=
c
a
=


6
3
．椭圆的方程为
x2
4
+
3y2
4
=1．（6分）
（2）设C（xC，yC），D（xD，yD），
∵直线AC、AD的倾斜角互补，
∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）
由





yC-1=k(xC-1)
x2
4
+
3y2
4
=1
，得（1+3k2）x2+3（2k-2k2）x+3（k2-2k）-1=0（10分）
∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．
∴xC=
3(k2-2k)-1
1+3k2
，同理，xD=
3(k2+2k)-1
1+3k2
．（12分）
∴kCD=
yC-yD
xC-xD
=
k(xC-1)+1+k(xD-1)-1
xC-xD
=
k(xC+xD)-2k
xC-xD
=
1
3
．
故直线CD的斜率为定值
1
3
．（13分）
举一反三
已知双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，椭圆C以该双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点．
（1）当a=


3
，b=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：y=kx+
1
2
与y轴交于点P，与椭圆交与A，B两点，若O为坐标原点，△AOP与△BOP面积之比为2：1，求直线l的方程；
（3）若a=1，椭圆C与直线l"：y=x+5有公共点，求该椭圆的长轴长的最小值．
题型：不详难度：| 查看答案
设椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞0）的两个焦点是F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），且椭圆C与圆x2+y2=c2有公共点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点的最短距离为


3
-


2
，求椭圆的方程；
（Ⅲ）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k≠0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围．
题型：焦作二模难度：| 查看答案
已知椭圆过点P（-3，


7
2
），Q（2，


3
）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A（0，4），B是椭圆上的任一点，求|AB|的最大值及此时B的坐标．
题型：不详难度：| 查看答案
曲线C上任一点到点E（-4，0），F（4，0）的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求点P的坐标．
题型：不详难度：| 查看答案
一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为2


13
，一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4，且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的方程．
题型：不详难度：| 查看答案
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