如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC=PE·PO .(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若OE:EA=1:2,PA=

如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC=PE·PO .(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若OE:EA=1:2,PA=

题型:不详难度:来源:
如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC=PE·PO .

(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若OE:EA=1:2,PA=6,求⊙O的半径;
(3)在(2)问下,求的值。
答案
(1)连接OC,根据PC2=PE•PO和∠P=∠P,可证得△PCO∽△PEC,即可证得∠PCO=∠PEC,再结合已知条件即可得出PC⊥OC,从而证得结论;(2)3;(3)
解析

试题分析:(1)根据和∠P=∠P,可证得△PCO∽△PEC,即可证得∠PCO=∠PEC,再结合已知条件即可得出PC⊥OC,从而证得结论;
(2)设OE=x,则AE=2x,根据切割线定理得,则,解一元二次方程即可求出x,从而得出⊙O的半径;
(3)连接BC,根据PC是⊙O的切线,得∠PCA=∠B,根据勾股定理可得出CE,BC,再由三角函数的定义即可求出结果.
(1)∵ 

∵∠P=∠P
∴△PCO∽△PEC
∴∠PCO=∠PEC
∵CD⊥AB
∴∠PEC=90°
∴∠PCO=90°
∴PC是⊙O的切线;
(2)设OE=x
∵OE:EA=1:2
∴AE=2x


∵PA=6
∴(6+2x)(6+3x)=6(6+6x),
解得x=1
∴OA=3x=3
∴⊙O的半径为3;
(3)连接BC





∵PC是⊙O的切线
∴∠PCA=∠B

点评:本题是一道综合性的题目,主要考查了学生对各种定义的综合应用能力,是中考压轴题,难度中等.
举一反三
如图,已知圆心角∠BOC=120°,则圆周角∠BAC的大小是
A.60°B.80°C.100°D.120°

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(本题8分)如图,已知在⊙O中,∠ABD=∠CDB。

(1)求证:AB=CD;
(2)顺次连结ACBD四点,猜想得到的是哪种特殊的四边形?并说明理由。
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下列命题正确的个数有(   )
①等弧所对的圆周角相等;②相等的圆周角所对的弧相等;
③圆中两条平行弦所夹的弧相等;④三点确定一个圆;
⑤在同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等.
A.2B.3C.4D.5

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若将直尺的0cm刻度线与半径为5cm的量角器的0º线对齐,并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动(如图),则直尺上的10cm刻度线对应量角器上的度数约为(   )
A.90ºB.115ºC.125ºD.180º

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如图,由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中,等边三角形与三个正方形的面积和的比值为(   )
A.B.1C.D.

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