如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切于点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD(1)求证:∠CDE=2∠B(2)若BD:A
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如图,AB是⊙O的直径,点C在BA的延长线上,直线CD与⊙O相切于点D,弦DF⊥AB于点E,线段CD=10,连接BD (1)求证:∠CDE=2∠B (2)若BD:AB=:2,求⊙O的半径及弦DF的长 |
答案
(1)证明:连接OD. ∵直线CD与⊙O相切于点D, ∴OD⊥CD,∠CDO=90°,∠CDE+∠ODE=90°. 又∵DF⊥AB,∴∠DEO=∠DEC=90°. ∴∠EOD+∠ODE=90°, ∴∠CDE=∠EOD. 又∵∠EOD=2∠B, ∴∠CDE=2∠B. (2)解:连接AD. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵BD:AB=:2, ∴在Rt△ADB中cosB=, ∴∠B=30°. ∴∠AOD=2∠B=60°. 又∵∠CDO=90°, ∴∠C=30°. 在Rt△CDO中,CD=10, ∴OD=10tan30°=, 即⊙O的半径为. 在Rt△CDE中,CD=10,∠C=30°, ∴DE=CDsin30°=5. ∵DF⊥AB于点E, ∴DE=EF=DF. ∴DF=2DE=10.
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解析
(1)连接OD,根据弦切角定理得∠CDE=∠EOD,再由同弧所对的圆心角是圆周 角的2倍,可得∠CDE=2∠B; (2)连接AD,根据三角函数,求得∠B=30°,则∠EOD=60°,推得∠C=30°,根据∠C的正切值,求出圆的半径,再在Rt△CDE中,利用∠C的正弦值,求得DE,从而得出DF的长. |
举一反三
如图,在直角坐标系中,⊙O的半径为1,则直线与⊙O的位置关系是 |
如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB交弧BC于点D,交OC于点E,连结CD,OD.给出以下四个结论:①S△DEC=S△AEO;②AC∥OD;③线段OD是DE与DA的比例中项;④.其中结论正确的是 A. ①②③ B. ①②④ C. ②③ D. ②④ |
如图,如图,⊙O中,半径CO垂直于直径AB,D为OC的中点,过D作弦EF∥AB,则∠CBE= . |
如图1所示,一只封闭的圆柱形容器内盛了一半水(容器的厚度忽略不计),圆柱形容器底面直径与母线长相等,现将该容器竖起后如图2所示,设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S 1、S 2,则S 1与S 2的大小关系是( )
A.S1≤S 2 | B.S 1<S 2 | C.S 1>S 2 | D.S 1=S 2 |
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已知等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=8,⊙O经过B、C两点,且AO=4,则⊙O的半径长是 . |
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