如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．（1）求证：AD平分∠CAE；（2）若DE＝4cm，AE＝2cm，求

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如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．

（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）若DE＝4cm，AE＝2cm，求⊙O的半径．

答案

（1）证明：连接OD，
∵OD＝OA  ∴∠ODA＝∠OAD    ………… 1分
∵DE是⊙O的切线
∴∠ODE＝90° OD⊥DE    ………… 2分
又∵DE⊥EF   ∴OD∥EF   …………… 3分
∴∠ODA＝∠DAE    ∴∠DAE＝∠OAD  ∴AD平分∠CAE. ………… 5分
(2)解：连接CD  ∵AC是⊙O直径   ∴∠ADC＝90°………………… 6分
由（1）知：∠DAE＝∠OAD  ∠AED＝∠ADC 
∴△ADC∽△AED    ∴             ………………… 7分
在Rt△ADE中，DE＝4  AE＝2  ∴AD＝     ………………… 8分
∴  ∴AC＝10               ………………… 9分
∴ ⊙O的半径是5.                          ………………… 10分

解析

（1）连接OD，得出∠OAD=∠ODA，再证明∠EAD=∠ODA，得出结论；
（2）连接CD，证明△AED∽△ADC，根据勾股定理和相似三角形的性质求出半径．