如图，为⊙的直径，，交于点，，．(1)求证：；(2)求的长；(3)延长到，使得，连接，试判断直 线与⊙的位置关系，并说明理由．

题型：不详难度：来源：

如图，为⊙的直径，，交于点，，．

(1)求证：；
(2)求的长；
(3)延长到，使得，连接，试判断直 线与⊙的位置关系，并说明理由．

答案

解：(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，                      …………1分
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，                      …………2分
又∵∠BAE=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB，                  …………3分
(2) ∵△ABE∽△ADB，
∴，                            …………4分
∴AB²=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12     …………5分
∴AB=．…………6分                  
(3) 直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA，  …………7分

∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴，
BF=BO=，…………8分
∵AB=，
∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，
∴直线FA与⊙O相切．…………10分

解析

（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB．
（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．
（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可