如图,AB是⊙O的直径,C是BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.小题1:求证:CF=BF;小题2:若AD=2,⊙O的半径为3,求BC的长
题型:不详难度:来源:
如图,AB是⊙O的直径,C是BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.
小题1:求证:CF=BF; 小题2:若AD=2,⊙O的半径为3,求BC的长 |
答案
小题1:连结AC,如图 ∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC 又∠BDC=∠BAC 在三角形ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB∴ ∠BCE=∠BAC, ∠BCE=∠DBC ∴ CF=BF 因此,CF=BF. 3分 小题2:证法一:作CG⊥AD于点G, ∵C是弧BD的中点 ∴∠CAG=∠BAC, 即AC是∠BAD的角平分线. ∴ CE=CG,AE="AG" ,在Rt△BCE与Rt△DCG中,CE="CG" ,CB=CD ∴Rt△BCE≌Rt△DCG,∴BE="DG" ,∴AE=AB-BE=AG=AD+DG即 6-BE=2+DG ∴2BE=4,即BE=2 又 △BCE∽△BAC,∴ (舍去负值),∴ 7分 (2)证法二:∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB
∴∠BEF=, 在与中, ∵ ∴∽,则 即, ∴ 又∵, ∴ 利用勾股定理得: 又∵△EBC∽△ECA则,即则 ∴即 ∴ ∴ |
解析
(1)等弧对等角; (2)以上两种解题方法都用到了三角形的相似。 |
举一反三
如图,过D、A、C三点的圆的圆心为E,过B、E、F三点的圆的圆心为D,如果∠A="63" º,那么∠B= . |
如图,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,F为CD延长线上一点,AF交⊙O于点G. 求证:AC2=AG·AF |
如图,在平面直角坐标系中,点P坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于【 】
A.-4和-3之间 | B.3和4之间 | C.-5和-4之间 | D.4和5之间 |
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如图所示,,,,点是以为直径的半圆上一动点,交直线于点,设. 小题1:当时,求的长; 小题2:当时,求线段的长; 小题3:若要使点在线段的延长线上,则的取值范围是_______.(直接写出答案) |
如图所示,⊙O中,OA⊥BC,垂足为H,∠AOB=50°,则圆周角∠ADC的度数是 |
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