如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,点D在AB的延长线上,且AC=CD,已知∠D＝30°.⑴判断CD与⊙O的位置关系,请说明理由⑵若弦CF⊥AB,垂足为E,且

题型：不详难度：来源：

如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,点D在AB的延长线上,且AC=CD,已知∠D＝30°.

⑴判断CD与⊙O的位置关系,请说明理由
⑵若弦CF⊥AB,垂足为E,且CF＝,求图中阴影部分的面积.

答案

⑴CD与⊙O相切⑵

解析

解：（1）CD与⊙O相切 …………… 1分
理由：连接OC   …………… 2分
∵AC=DC，
∴∠A=∠D=30°
∵AO=CO，
∴∠OCA=∠A=30°∠COD=60°，………… 3分
∴∠D+∠COD=90°，
∴∠OCD=90°
∴OC⊥CD,
∴CD与⊙O相切………………4分
（2）∵CF⊥AB，∴CE=CF= ………… 5分
在Rt△OCE中，有，sin60⁰=, ∴ OC=2，OE="1" ,
-
==  ………… 8分
（1）连接OC，根据题意可求得∠A=30°，则∠OCA=30°，则∠OCD=90°，从而证得CD与⊙O相切；
（2）可求得CE，再在Rt△OCE中，利用三角函数求出OC，OE，即可得出阴影部分的面积