已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C, AC、BD相交于N点,连结ON

已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C, AC、BD相交于N点,连结ON

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已知:如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点(异于A、B),过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C, AC、BD相交于N点,连结ON、NP,下列结论:①四边形ANPD是梯形; ② ON=NP;   ③ DP·PC为定值; ④PA为∠NPD的平分线.其中一定成立的是(      )

A. ①②③     B.②③④    C. ①③④     D. ①④
答案
C
解析
①因为DA、DP、CP、CB为⊙O切线,故DA⊥AB,CB⊥AB.
于是AD∥BC,AD=DP,CB=CP.
∴∠CAD=∠NCB,∠ADN=∠DBC,
∴△AND∽△CNB,
∴CB/AD=CN/NA=CP/DP,
∴NP∥BC,
故NP∥AD,又AN与DP相交,
∴四边形ANPD是梯形,本选项正确;
②不能确定;
③连接OP,OD,OC,如图所示:

由DA,DP为圆O的切线,
∴∠OAD=∠OPD=90°,
在直角三角形OAD和OPD中,
DA=DP,OD=OD,
∴△OAD≌△OPD,
∴∠AOD=∠POD,
同理∠POC=∠BOC,
∠AOD+∠DOP+∠POC+∠BOC=180°,
∴∠COD=∠DOP+∠COP=90°,又OP⊥CD,
∴∠POD+∠POC=90°,∠POD+∠ODP=90°,
∴∠ODP=∠POC,同理∠POD=∠PCO,
∴△OPD∽△CPO,
∴OP/PC=DP/OP,
即OP2=DP?PC,
∵OP为圆O的半径,为定值,故DP?PC为定值,本选项正确;
④因为DA=DP,所以∠DAP=∠DPA.
因为NP∥AD,所以∠NPA=∠DAP.
所以∠DPA=∠NPA.
PA为∠NPD的平分线.
则一定成立的选项有:①③④.
故答案为:①③④.
举一反三
如图,把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2,两圆相交于AB, 且O1A⊥O2 A,则图中阴影部分的面积是          
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如图,在平面直角坐标系中,⊙A与y轴相切于原点O, 平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点,若点M的坐标是(-4,-2),过点N的双曲线是,则k=        
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如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,半径为2的⊙O1的圆心O1在格点上,将一个与⊙O1重合的等圆,向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到⊙O2,则⊙O2与⊙O1的位置关系是(   )
A.内切B.外切C.相交D.外离

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如图,在等边△ABC中,以AB边为直径的⊙OBC交于点D,连接AD,则∠CAD的度数是         
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如图,AB为⊙O的直径,点 C、D、E均在⊙O上,且∠BED=30,那么∠ACD的度数是(  ).

A. 60      B. 50    C.40   D. 30
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