解: (1)∵AE⊥EF, EF∥BC,∴AD⊥BC. (1分) 在△ABD和△ACD中,∵BD=CD,∠ADB=∠ADC,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD.(或者:又∵BD=CD,∴AE是BC的中垂线.) (2分) ∴AB=AC. (3分) (2)连BO,∵AD是BC的中垂线,∴BO=CO. (或者:证全等也可得到BO=CO.) 又AO=CO,∴AO=BO=CO. (4分) ∴点O是△ABC外接圆的圆心. (5分)
(3)解法1: ∵∠ABE=∠ADB=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°, ∴∠ABD=∠AEB. 又∵∠BAD=∠EAB, ∴△ABD∽△AEB. ∴ (或者:由三角函数得到) (6分) 在Rt△ABD中,∵AB=5,BD=BC=3, ∴AD=4. (7分) ∴AE=. (8分) 解法2: ∵AO=BO, ∴∠ABO=∠BAO. ∵∠ABE=90°,∴∠ABO+∠OBE=∠BAO+∠AEB=90°. ∴∠OBE=∠OEB, ∴OB=OE. (6分) 在 Rt△ABD中,∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4. 设 OB=x, 则 OD=4-x,由32+(4-x)2=x2,解得x=. (7分) ∴AE=2OB=.(8分) 解法3: 设AO的延长线与⊙O交于点E1,则AE1是⊙O的直径, ∴∠ABE1=90°. 在Rt△ABE和Rt△ABE1中,∵∠BAE=∠BAE1,∠ABE=∠ABE1=90°,AB=AB, ∴△ABE≌△ABE1,∴AE=AE1. (6分) (同方法2) ∵BO=. (7分) ∴AE=2OB=. (8分) |