如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心

如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心

题型:不详难度:来源:
如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.
(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切.设⊙P的面积为s,你认为能否确定s的最大值?若能,请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由.
答案
解:(1)共2分.(标出了圆心,没有作图痕迹的评1分)看见垂足为Y(X)的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分,
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时,由角平分线的性质,动点P是∠ABC的平分线BM上的点.
如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1  (不为∠ABC的顶点),

∵ OX =BOsin∠ABM,  P1Z=BP1sin∠ABM.
当 BP1>BO 时 ,P1Z>OX,即P与B的距离越大,⊙P的面积越大.
这时,BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点. 
(3分.此处没有证明和结论不影响后续评分)
如图2,∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上.

∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与边CB相切于C,与边AB相切于E,
即这时的⊙P是符合题意的圆.(4分.此处没有证明和结论不影响后续评分)
这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A=∠A,∠BCA=∠AEP=90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE,  (5分)
.
∵AC=1,BC=2,∴AB=.
设PC=x,则PA=AC-PC=1-x,   PC=PE,
, ∴x= .  (6分)
②如图3,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时,设PC=y,则 

∴y= .   (7分)
③如图4,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时,

设PF=z,则, ∴z=.    (8分)
由①,②,③可知:∵  >2,∴ +2>+1>3,
∵当分子、分母都为正数时,若分子相同,则分母越小,这个分数越大,
(或者:∵x= =2-4, y= = 5,
∴y-x=>0, ∴y>x. ∵z-y=>0)
2, (9分,没有过程直接得出酌情扣1分)
∴ z>y>x.  ∴⊙P的面积S的最大值为.    (10分)
解析

举一反三
用半径为12㎝,圆心角为90°的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面半径为(    )
A.1.5㎝B.3㎝C.6㎝D.12㎝

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(11·钦州)已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5,如果两圆的位置关系为外离,那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是
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(11·钦州)一个圆锥的底面圆的周长是2π,母线长是3,则它的侧面展开图的圆心角等于
A.150ºB.120ºC.90ºD.60º

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.如图3,CD是⊙O的弦,直径AB过CD的中点M,若∠BOC=40°,则∠ABD=
A.40°B.60°C.70°D.80°

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.如图13,D为O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是O的切线;
(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长
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