解:(1)共2分.(标出了圆心,没有作图痕迹的评1分)看见垂足为Y(X)的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分, (2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时,由角平分线的性质,动点P是∠ABC的平分线BM上的点. 如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点),
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105061526-87626.jpg) ∵ OX =BOsin∠ABM, P1Z=BP1sin∠ABM. 当 BP1>BO 时 ,P1Z>OX,即P与B的距离越大,⊙P的面积越大. 这时,BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点. (3分.此处没有证明和结论不影响后续评分) 如图2,∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105061526-81207.jpg) ∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与边CB相切于C,与边AB相切于E, 即这时的⊙P是符合题意的圆.(4分.此处没有证明和结 论不影响后续评分) 这时⊙P的面积就是S的最大值. ∵∠A=∠A,∠BCA=∠AEP=90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE, (5分) ∴ . ∵AC=1,BC=2,∴AB= . 设PC=x,则PA=AC-PC=1-x, PC=PE, ∴ , ∴x= . (6分) ②如图3,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时,设PC=y,则 ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105061528-92414.jpg) ∴y= . (7分) ③如图4,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105061529-54069.jpg) 设PF=z,则 , ∴z= . (8分) 由①,②,③可知:∵ >2,∴ +2> +1>3, ∵当分子、分母都为正数时,若分子相同,则分母越小,这个分数越大, (或者:∵x= =2 -4, y= = 5, ∴y-x= >0, ∴y>x. ∵z-y= >0) ∴ 2, (9分,没有过程直接得出酌情扣1分) ∴ z>y>x. ∴⊙P的面积S的最大值为 . (10分) |