(10分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为 上点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.(1)求证△ABD为等腰三角形.(2)求证

(10分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为 上点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.(1)求证△ABD为等腰三角形.(2)求证

题型:不详难度:来源:
(10分)在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为 上
点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
(1)求证△ABD为等腰三角形.
(2)求证AC•AF=DF•FE.
答案
(1)证法一:连CF、BF
∠ACD=∠MCD=∠CDB+∠CBD=∠CFB+∠CFD=∠DFB
而∠ACD=∠DFB=∠DAB又∠ACD=∠DBA
∴∠DAB=∠DBA   ∴△ABD为等腰三角形  ……(4分)
证法二:
由题意有∠MCD=∠ACD =∠DBA,又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,
∴∠MCD=∠DAB,∴∠DAB=∠DBA即△.ABD为等腰三角形    ……(4分)
(2)由(1)知AD=BD,BC=AF,则弧AFD=弧BCD,弧AF=弧BC,
∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF……①                     ……(5分)
又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA,即∠CDA=∠BDF,
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°,∴∠FAE=∠BDF=∠CDA,
同理∠DCA=∠AFE                                    ……(8分)
∴在△CDA与△FDE中,∠CDA=∠FAE,∠DCA=∠AFE
∴△CDA∽△FAE
∴,即CD·EF=AC·AF,又由①有AC·AF=DF·EF
命题即证                                             ……(10分)
解析

举一反三
(湖南湘西,7,3分)若两圆外切,圆心距是7,其中一圆的半径为4,另一个圆的半径为________.
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(11·湖州)(本小题8分)
如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,∠AOC=60°,OC=2。
⑴求OE和CD的长;
⑵求图中阴影部队的面积。
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已知⊙O的直径AB的长为4㎝,C是⊙O上一点,
∠BAC=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点
P,求BP的长
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(2011湖南衡阳,24,8分)如图,△ABC内接于⊙OCA=CBCDAB且与OA的延长线交与点D
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若∠ACB=120°,OA=2,求CD的长.
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如图3,四边形ABCDO的内接四边形,∠DCE,则            

BAD=______________.                                                
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